Peluang Hipergeometrik untuk kasus di mana peluang BERHASIL berkaitan
dengan Peluang GAGAL
ada penyekatan dan pemilihan/kombinasi obyek
(BERHASIL dan GAGAL)
Percobaan hipergeometrik adalah percobaan dengan ciri-ciri sebagai berikut:
1. Contoh acak berukuran n diambil dari populasi berukuran N
2. k dari N diklasifikasikan sebagai "BERHASIL" sedangkan N-k diklasifikasikan sebagai "GAGAL"
Definisi Distribusi Hipergeometrik:
Bila dalam populasi N obyek, k benda termasuk kelas "BERHASIL" dan N-k (sisanya) termasuk kelas "GAGAL", maka Distribusi Hipergeometrik peubah Acak X yg menyatakan banyaknya keberhasilan dalam contoh acak berukuran n adalah :
untuk x = 0,1,2,3...,k
Contoh 8 :
Jika dari seperangkat kartu bridge diambil 5 kartu secara acak tanpa pemulihan, berapa peluang diperoleh 3 kartu hati?
N = 52 n = 5 k = 13 x = 3
(selesaikan sendiri !)
Rata-Rata dan Ragam bagi Distribusi Hipergeometrik h(x; N, n, k) adalah :
Rata-rata = Ragam =
Perluasan Distribusi Hipergeometrik jika terdapat lebih dari 2 kelas
Distribusi Hipergeometrik dapat diperluas menjadi penyekatan ke dalam beberapa kelas
dan perhatikan bahwa dan
N : ukuran populasi atau ruang contoh
n : ukuran contoh acak
k : banyaknya penyekatan atau kelas
xi : banyaknya keberhasilan kelas ke-i dalam contoh
ai : banyaknya keberhasilan kelas ke-i dalam populasi
Contoh 9 :
Dari 10 pengemudi motor, 3 orang mengemudikan motor merk "S", 4 orang memggunakan motor merk "Y" dan sisanya mengemudikan motor merk "H". Jika secara acak diambil 5 orang, berapa peluang 1 orang mengemudikan motor merk "S", 2 orang merk "Y" dan 2 orang merk "H"?
Jawab :
N = 10, n = 5
a1 = 3, a2 = 4, a3= 3
x1 = 1, x2 = 2, x3= 2
Pendekatan Hipergeometrik dapat juga dilakukan untuk menyelesaikan persoalan binomial :
• Binomial untuk pengambilan contoh dengan pemulihan (dengan pengembalian)
• Hipergeometrik untuk pengambilan contoh tanpa pemulihan (tanpa pengembalian)
Contoh 10 :
Dalam suatu kotak terdapat 5 bola yang terdiri dari 2 bola Merah, 2 bola Biru dan 1 buah Putih. Berapa peluang
a. terambil 2 bola Merah, dari 4 kali pengambilan yang dilakukan secara acak dengan pemulihan?
b. terambil 2 bola Merah, dari 4 kali pengambilan yang dilakukan secara acak tanpa pemulihan?
Soal a diselesaikan dengan Distribusi Peluang binomial :
p = 2/5 = 0.40 n = 4 x = 2
b(2; 4,0.40) = 0.16 (lihat Tabel atau gunakan rumus Binomial)
Soal b diselesaikan dengan Distribusi Peluang Hipergeometrik
N = 5 n = 4 k = 2 x = 2
N-k = 3 n-x=2
h(2; 5, 4,2) =
dan N – n benda diklasifikasikan sebagai gagal.
Distribusi hypergeometrik mempunyai sifat:
• Sampel acak berukuran n yang diambil tanpa pengembalian dari N benda.
• Sebanyak k-benda dapat diberi nama sukses dan sisanya N-k diberi nama gagal.
Distribusi probabilitas perubah acak hipergeometrik X yang menyatakan banyaknya kesuksesan dalam sampel acak dengan ukuran n yang diambil dari N-obyek yang memuat k sukses dan N-k gagal dinyatakan sebagai:
Distribusi hipergeometrik h(x;N,n,k) mempunyai rata-rata dan variansi sbb:
Contoh Soal:
Suatu panitia 5 orang dipilih secara acak dari 3 kimiawan dan 5 fisikawan. Hitung distribusi probabilitas banyknya kimiawan yang duduk dalam panitia.
Jawab:
Misalkan: X= menyatakan banyaknya kimiawan dalam panitia.
X={0,1,2,3}
Distribusi probabilitasnya dinyatakan dengan rumus
Tabel distribusi hipergeometriknya adalah:
x 0 1 2 3
h(x;8,5,3) 1/56 15/56 30/56 10/56
Studi Kasus Distribusi Hipergeometrik
Pada sebuah pesta akhir tahun yang diikuti oleh 18 peserta, setiap peserta diharuskan mengambil 5 buah permen dari sebuah kantung. Peserta tidak diperbolehkan memilih-milih permen yang diambil dan permen yang sudah diambil menjadi milik perserta dan tidak boleh dikembalikan ke kantung. Didalam kantung tersebut terdapat 90 buah permen yang terdiri dari 2 rasa, yakni rasa grape dan rasa cherry. Permen rasa grape berjumlah 30 permen, sedangkan permen rasa cherry berjumlah 60 permen. Dari pengambilan permen tersebut, peserta yang mendapat permen dengan rasa grape terbanyak akan mendapat doorprize dari pesta tersebut. Oleh karena itu, panitia pesta melakukan pencatatan mengenai banyaknya permen dengan rasa grape yang terambil oleh setiap peserta pesta. Berikut merupakan data permen rasa grape yang terambil dalam sekali pengambilan.
Tabel 4.12 Data Pengamatan Permen KISS Rasa Grape
P (x) Turus Frekuensi
0 | 1
1 |||| ||||
10
2 ||| 3
3 || 2
4 || 2
5 - 0
Berdasarkan data pengamatan 4.12, panitia pesta tersebut ingin mencari nilai probabilitas dari :
a. Terambilnya permen rasa grape kurang dari tiga buah (x<3) b. Terambilnya permen rasa grape lebih dari dua buah (x>2)
c. Terambilnya permen rasa grape sebanyak empat buah (x=4)
d. Terambilnya permen rasa grape kurang dari sama dengan tiga buah (x ≤ 3)
e. Terambilnya permen rasa grape lebih dari sama dengan satu buah (x≥1)
f. Terambilnya permen rasa grape antara tiga sampai enam buah (3
Hasil perhitungan probabilitas x>2 diperoleh dari selisih nilai peluang maksimal yaitu 1 dengan nilai peluang yang tidak termasuk yaitu peluang x=1 sampai dengan x=2. Maka, diperoleh hasil probabilitas x>2 sebesar 0,2042.
c. Terambilnya permen rasa grape sebanyak empat buah
P(x=4)
Probabilitas terambilnya permen rasa grape sebanyak 4 buah didapatkan sebesar 0,0374.
d. Terambilnya permen rasa grape kurang dari sama dengan tiga buah
P(x ≤ 3)
Hasil perhitungan probabilitas permen rasa grape yang terambil sebanyk-banyaknya 3 yaitu 0,9593.
e. Terambilnya permen rasa grape lebih dari sama dengan satu buah
P(x ≥ 1)
Probabilitas terambilnya permen dengan jumlah maksimal 1 buah yaitu 0,8757.
f. Terambilnya permen rasa grape antara tiga sampai enam buah
P(3 < x < 6)
Probabilitas yang termasuk ke dalam tiga sampai enam buah yaitu sebesar 0,0407 yang diperoleh dari penjumlahan nilai probabilitas 4 buah dan 5 buah.
g. Terambilnya permen rasa grape dua sampai dengan empat buah
P(2 ≤ x ≤ 4)
Hasil probabilitas permen yang terambil 2 sampai empat buah yaitu sebesar 0,5396 dimana yang termasuk ke dalam peluang tersebut yaitu peluang terambilnya permen sebanyak 2 buah sampai 4 buah.
4.6.2 Perhitungan Software Distribusi Hipergeometrik
Untuk pengolahan data dengan menggunakan software, software yang digunakan kali ini adalah MINITAB. Untuk membuat tabel simulasi dengan menggunakan MINITAB, langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:
1. Buka Software MINITAB, maka biasanya akan keluar tampilan sebagai berikut:
Gambar 4.48 First Time Alert
Lalu pilih close.
2. Beri nama variabel pada kolom C1, C2, C3, dan C4. Kemudian, isi data pada kolom C1 dengan nilai x dan kolom C2 dengan nilai frekuensi sesuai dengan data pengamatan seperti pada gambar 4.49:
Gambar 4.49 Pemberian Nama Kolom dan Pemasukan Data
3. Selanjutnya pilih menu clac, kemudian pilih probability distributions dan pilih hypergeometric.
Gambar 4.50 Menu Pilihan
4. Lalu akan keluar tampilan seperti gambar di bawah ini. Pilih probability, kemudian input nilai population size (N), Successes in population (M), sample size (n) sesuai data pengamatan. Kemudian, select C1 x pada input column dan pada optional storage, select C3 ‘peluang x’.
Gambar 4.51 Hypergeometric Distributions
Maka, akan muncul tampilan output seperti gambar di bawah ini.
Gambar 4.52 Output Peluang X
5. Setelah itu, ulangi langkah ketiga di atas, kemudian pilih cumulative probability dan pada optional storage, select C4 ‘peluang x kumulatif’. Klik OK. Maka, akan keluat tampilan output seperti gambar di bawah ini.
Gambar 4.53 Output Peluang X Kumulatif
Tidak ada komentar:
Posting Komentar